Question

已知函數,其中常數．
(1)令,求函數的單調區間;
(2)令,將函數的圖像向左平移個單位,再往上平移個單位,得到函數的圖像．對任意的,求在區間上零點個數的所有可能值．

Answer 1

(1)增區間 ，減區間;
(2) 當時,21個,否則20個．

試題分析：(1)令，函數化為，可得單調區間；(2)時，經平移可得，根據的圖像與性質可得零點個數．
解：(1)．
分別令：或 得
的單調區間;，．
(2)時,,,
其最小正周期 ,
由,得,
∴,即 ,
區間的長度為10個周期,
若零點不在區間的端點,則每個周期有2個零點;
若零點在區間的端點,則僅在區間左或右端點處得一個區間含3個零點,其它區間仍是2個零點;
故當時,21個,否則20個．的圖像與性質．三角恒等變形．