Question

已知函數的定義域為且，對任意都有

數列滿足N.證明函數是奇函數;求數列的通項公式;令N, 證明:當時,.

(本小題主要考查函數、數列、不等式等知識,  考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識)

Answer 1

【解析】（1）由于對任意，都有，

    令，得，解得. …… 1分

    令，得，∵，

   ∴，即.…… 2分 ∴函數是奇函數.  …… 3分

（2）解：先用數學歸納法證明.①當時，，得, 結論成立.

②假設時, 結論成立, 即,當時,  由于, ,

又.∴.即時, 結論也成立.

由①②知對任意N, .…… 4分

求數列的通項公式提供下面兩種方法.

 法1:.…………… 5分

 ∵函數是奇函數， ∴. ∴.  …… 6分

    ∴數列是首項為，公比為的等比數列.

  ∴數列的通項公式為.  ……… 7分

法2:  ∵  …… 5分

    , ∴.… 6分

   ∴數列是首項為，公比為的等比數列.

   ∴數列的通項公式為.………… 7分

（3）證法1：由（2）知，∵，

∴.   … 8分∴N，且

∴N,且.… 9分當且N時,

 …… 10分

…… 11分     .  

∴.  … 12分∵,∴當時,.… 13分

∴當時,.  14分

  ………… 12分

  

     

右邊.……… 13 ∴時，不等式也成立.

 由①②知，當時,成立.………… 14分

證法3：由（2）知，故對，有

.… 8分