Question

已知圓C：x²+y²-8x+4y+16=0
（1）若直線l過點A（3，0），且被圓C截得的弦長為2

3

，求直線l的方程；
（2）設直線l：mx-（m²+1）y=4m，m∈R，問直線l能否將圓C分割成弧長的比值為

1

2

的兩段圓弧？為什么？

Answer 1

分析：（1）若直線l的斜率存在，則直線可以設為：y=k（x-3），由垂徑定理可求圓心C到直線l的距離d，然后利用點到直線距離公式可求斜率k；若直線l的斜率不存在，則直線可以設為：x=3，代入檢驗是否滿足題意
（2）若存在滿足題意的直線l，則直線l所對的圓心角為120°，結合圓的性質可得弦心距d=

1

2

r，結合點到直線的距離公式可求m是否存在

解答：解：（1）若直線l的斜率存在，設為k，則過點A（3，0）的直線可以設為：y=k（x-3）…（1分）
圓方程 x²+y²-8x+4y+16=0可以化為：（x-4）²+（y+2）²=4
所以圓心為：C（4，-2），半徑為2…（2分）
由于弦長為2

3

，所以由垂徑定理得，圓心C到直線l的距離d=

22-( 2 3 2

)2=1，…（3分）
結合點到直線距離公式，得：

|k+2|

k2+1

=1解得：k=-

3

4

…（4分）
所以，直線l的方程為：y=-

3

4

(x-3)化簡得：3x+4y-9=0…（5分）
若直線l的斜率不存在，則過點A（3，0）的直線可以設為：x=3．
此時圓心C（4，-2）到它的距離等于1，符合題意…（7分）
所以所求直線方程為：x=3和  3x+4y-9=0…（8分）
（2）若直線l能將圓C分割成弧長的比值為

1

2

的兩段圓弧，則直線l所對的圓心角為120⁰…（10分）
由圓的性質可知，弦心距d=

1

2

r=1…（11分）
所以

|4m+2(m2+1)-4m|

m2+(m2+1)2

=1…（12分）
即|2(m2+1)|=

m2+(m2+1)2

所以：3m⁴+5m²+3=0而此方程無解，…（13分）
所以直線l不能將圓C分割成弧長的比值為

1

2

的兩段圓弧…（14分）

點評：本題主要考查了直線與圓相交關系的應用，解題的關鍵是垂徑定理及點到直線距離公式的靈活應用．