Question

【題目】如圖，邊長為的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，點M在線段EC上．
（Ⅰ）證明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判斷點M的位置，使得三棱錐B﹣CDM的體積為 ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵DC=BC=1，DC⊥BC，
∴BD=，
∵AD=，AB=2，
∴AD2+BD2=AB2 ，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，
∴BD⊥ED，
∵AD∩DE=D，
∴BD⊥平面ADEF，
∵BD平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）解：如圖，在平面DMC內，過M作MN⊥DC，垂足為N，則MN∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD，
∵VB﹣CDM=VM﹣CDB=，
∴XX1X1XMN=，
∴MN=，
∴=，
∴CM=CE，
∴點M在線段CE的三等分點且靠近C處．

【解析】（Ⅰ）證明：ED⊥平面ABCD，BD⊥平面ADEF，即可證明平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）在平面DMC內，過M作MN⊥DC，垂足為N，則MN∥ED，利用三棱錐的體積計算公式求出MN，可得結論。