Question

給定下列命題：
（1）空間直角坐標系O-XYZ中，點A（-2，3，-1）關于平面XOZ的對稱點為A′（-2，-3，-1）．
（2）棱長為1的正方體外接球表面積為8π．
（3）已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n=2ⁿ+c（c為常數），則c=-1．
（4）若非零實數a₁，b₁，a₂，b₂滿足

a1

a2

=

b1

b2

，則集合{x|a₁x+b₁＞0}={x|a₂x+b₂＞0}．
（5）已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，則點P₁（1，

S1

1

）、P₂（2，

S2

2

）、…、P_n(n，

Sn

n

)（n∈N^*）必在同一直線上．
以上正確的命題是

（1）（3）（5）

（請將你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：（1）根據空間直角坐標系中點兩點關于坐標平面對稱的規律，可得與點A（1，2，3）關于平面xoz的對稱點，它的橫坐標和豎坐標與P相等，而縱坐標與P互為相反數，因此不難得到正確答案．
（2）直接求出正方體的對角線的長度，就是它的外接球的直徑，求出半徑即可求出球的表面積．
（3）由數列{a_n}為等比數列可得S_n=A•qⁿ+B必滿足A+B=0，從而可求C=-1．
（4）先根據

a1

a2

=

b1

b2

，進行賦值說明此時A≠B，進行判定即可．
（5）由于

Sn

n

=

1

2

(a1+an)=a1+

n-1

2

d，

S1

1

=a1，故得到P₁P_n所在直線的斜率為

1

2

d，即得結論．

解答：解：（1）設所求的點為A′（x，y，z），
∵點A′（x，y，z）與點A（-2，3，-1）關于平面XOZ的對稱，
∴A、A′兩點的橫坐標和豎坐標相等，而縱坐標互為相反數，
即x=-2，y=-3，z=-1，得A′（-2，-3，-1），故（1）正確；
（2）正方體的對角線的長度，就是它的外接球的直徑，
所以，球的直徑為：

3

，半徑為：

3

2

．
球的表面積為：4πr²=3π，故（2）錯誤；
（3）由題意可得，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=C+2ⁿ-C-2^n-1=2^n-1；a₁=S₁=C+2
由數列{a_n}為等比數列可得a₁=C+2適合上式，即C+2=1
∴C=-1，故（3）正確；
（4）∵

a1

a2

=

b1

b2

，∴取a₁=1，a₂=-1，b₁=-1，b₂=1，A≠B，故（4）錯誤；
（5）由于

Sn

n

=

1

2

(a1+an)=a1+

n-1

2

d，

S1

1

=a1，
故得到P₁P_n所在直線的斜率為

Sn n - S1 1

n-1

=

a1+ n-1 2 d-a1

n-1

=

1

2

d，
故點P₁（1，

S1

1

）、P₂（2，

S2

2

）、…、P_n(n，

Sn

n

)（n∈N^*）必在同一直線上，故（5）正確．
故答案為 （1）（3）（5）

點評：考查了空間點與點關于平面對稱，球的體積和表面積，等比數列的定義的應用的等知識點，屬于中檔題．