Question

設函數f(x)的定義域為(-∞，+∞)，對于任意x、y∈(-∞，+∞)都有f(x+y)＝f(x)+f(y)，當x＞0時，f(x)＜0，則函數f(x)為

1. A.
   奇函數，且在(-∞，+∞)上為增函數
2. B.
   奇函數，且在(-∞，+∞)上為減函數
3. C.
   偶函數，且在(-∞，0)上為增函數
4. D.
   偶函數，且在(-∞，0)上為減函數，在(0，+∞)上為增函數

Answer 1

B
令x＝y＝0，得f(0)＝0再令y＝-x，得f(0)＝f(x)+f(-x)＝0．
∴f(x)為奇函數．
又設x₂＞x₁，f(x₂-x₁)＝f(x₂)+f(-x₁)＝f(x₂)-f(x₁)＜0，
∴f(x₂)＜f(x₁)．
∴f(x)在(-∞，+∞)上為減函數．