Question

（本小題共14分）已知函數其中常數.
（1）當時，求函數的單調遞增區間；
（2）當時，若函數有三個不同的零點，求m的取值范圍；
（3）設定義在D上的函數在點處的切線方程為當時，若在D內恒成立，則稱P為函數的“類對稱點”，請你探究當時，函數是否存在“類對稱點”，若存在，請最少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）的單調遞增區間為.（2）.
（3）是一個類對稱點的橫坐標.

試題分析：（1）由f^′(x)="2x-(a+2)+" ==
，能求出當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間．
（2）a=4，f′（x）=2x+-6，故f^′(x)="2x+" -6≥4-6，不存在6x+y+m=0這類直線的切線．
（3）y=g(x)=(2x₀+ -6)(x-x₀)+ -6x₀+4lnx₀，令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能夠求出一個“類對稱點”的橫坐標．
解：（1）由可知，函數的定義域為，
且.
因為，所以.
當或時，；當時，，
所以的單調遞增區間為.
（2）當時，.
所以，當變化時，，的變化情況如下：

	（0,1）	1	（1,2）	2	（2，
	+	0	—	0	+
	單調遞增	取極大值	單調遞減	取極小值	單調遞增

所以，
.
函數的圖象大致如下：
 
所以若函數有三個不同的零點，.
（3）由題意,當時，，則在點P處切線的斜率；所以
.
令，
則，.
當時，在上單調遞減，所以當時，從而有時，；
當時，在上單調遞減，所以當時，從而有時，；所以在上不存在“類對稱點”.
當時，，所以在上是增函數，故
所以是一個類對稱點的橫坐標.
點評：解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意導數性質的靈活運用.