Question

(滿分12分)已知點，直線： 交軸于點，點是上的動點，過點垂直于的直線與線段的垂直平分線交于點．
（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）若 A、B為軌跡上的兩個動點，且 證明直線AB必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

(1) ；(2)見解析。

試題分析：(1) 根據線段垂直平分線的定義所以點P到F的距離等于到直線的距離.
所以,點P的軌跡是以F為焦點, 為準線的拋物線,且,,
所以所求的軌跡方程為             －－－－－－－－－3分
(2) 設，直線AB的方程為…………….5分 
代入到拋物線方程整理得 則
根據韋達定理，即，            …………8分


即，解得m=2，                  …………11分
顯然，不論為何值，直線AB恒過定點．       ………………12分
點評：求軌跡方程的方法較多，首先應考慮定義法，即利用常見曲線的定義，從條件出發確定幾何元素。直線與圓錐曲線的位置關系問題，韋達定理常常用到。