Question

在平面直角坐標系xOy中，Ω是一個平面點集，如果存在非零平面向量

a

，對于任意P∈Ω，均有Q∈Ω，使得

OQ

=

OP

+

a

，則稱

a

為平面點集Ω的一個向量周期．現有以下四個命題：
①若平面點集Ω存在向量周期

a

，則k

a

（k∈Z，k≠0）也是Ω的向量周期；
②若平面點集Ω形成的平面圖形的面積是一個非零常數，則Ω不存在向量周期；
③若平面點集Ω={（x，y）|x＞0，y＞0}，則

b

=（-1，2）為Ω的一個向量周期；
④若平面點集Ω={（x，y）|y=|sinx|-|cosx|}，則

c

=（

π

2

，0）為Ω的一個向量周期．
其中正確的命題個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：利用向量周期的意義和向量共線定理即可得出．

解答：解：由向量周期的意義可知：存在非零平面向量

a

，對于任意P∈Ω（Ω為平面內的一個點集），均有Q∈Ω，使得

OQ

=

OP

+

a

，即

PQ

=

a

，稱

a

為平面點集Ω的一個向量周期．
①∵平面點集Ω存在向量周期

a

，∴對于任意P∈Ω，均有Q∈Ω，使得

OQ

=

OP

+

a

，∴k

OQ

=k

OP

+k

a

（k≠0），因此k

a

為平面點集Ω的一個向量周期，因此正確．
②若平面點集Ω形成的平面圖形的面積是一個非零常數，則Ω不存在向量周期，利用①由反證法即可得出；
③若平面點集Ω={（x，y）|x＞0，y＞0}，假設對于任意P（x₁，y₁）∈Ω，均有Q（x₂，y₂）∈Ω，（x_i，y_i＞0，i=1，2），使得

PQ

=

b

=(-1，2)，則

x2-x1=-1 y2-y1=2

，解得

x2=x1-1 y2=y1+2

則x₂=x₁-1＞0，∴x₁＞1，不滿足?x₁＞0的條件，因此不正確；
④由平面點集Ω={（x，y）|y=|sinx|-|cosx|}，可知：x∈R，y²=1-|sin2x|，∴y∈[-1，1]．
?P（x，y）∈Ω，則

OP

+

c

=(x+

π

2

，y)，y=|sin(x+

π

2

)|-|cosx|=|cosx|-|cosx|=0∈Ω，
∴

c

=（

π

2

，0）為Ω的一個向量周期．故正確．
綜上可知：只有①②④正確．
故選：C．

點評：本題考查了新定義、向量周期、向量的運算及其共線定理，考查了推理能力和解決實際問題的能力，屬于難題．