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若數列{a_n}對于任意的正整數n滿足：a_n>0且a_na_n+1=n+1，則稱數列{a_n}為“積增數列”。已知“積增數列”{a_n}中，a₁=1，數列{a_n²+a_n+1²}的前n項和S_n，則對于任意的正整數n，有

[ ]

A.S_n≤2n²+3
B.S_n≥n²+4n
C.S_n≤n²+4n
D.S_n≥n²+3n

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知有窮數列A：a₁，a₂，…，a_n，（n≥2）．若數列A中各項都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數列為

數列．對于

數列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項a_i，a_j，將

ai+aj

1+aiaj

的值添在A的最后，然后刪除a_i，a_j，這樣得到一個n-1項的新數列A₁（約定：一個數也視作數列）．若A₁還是

數列，可繼續實施操作過程T，得到的新數列記作A₂，…，如此經過k次操作后得到的新數列記作A_k．
（Ⅰ）設A：0，

，

…請寫出A₁的所有可能的結果；
（Ⅱ）求證：對于一個n項的

數列A操作T總可以進行n-1次；
（Ⅲ）設A：-

，-

，

…求A₉的可能結果，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在直角坐標平面xOy上的一列點A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…，簡記為{A_n}．若由bn=

AnAn+1

•

構成的數列{b_n}滿足b_n+1＜b_n，n=1，2，…，其中

為方向與y軸正方向相同的單位向量，則稱{A_n}為T點列．
（1）判斷A₁（1，-1），A2(2，-

)，A3(3，-

)，…，An(n，-

2n-1

)，…，是否為T點列，并說明理由；
（2）若{A_n}為T點列，且點A₂在點A₁的右下方，證明任取其中連續三點A_k、A_k+1、A_k+2，一定能構成鈍角三角形；
（3）若{A_n}為T點列，且對于任意n∈N^*，都有b_n＞0，那么數列{a_n}是否一定存在極限？若是，請說明理由；若不是，請舉例說明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•徐匯區一模）對于數列{x_n}，從中選取若干項，不改變它們在原來數列中的先后次序，得到的數列稱為是原來數列的一個子數列．某同學在學習了這一個概念之后，打算研究首項為a₁，公差為d的無窮等差數列{a_n}的子數列問題，為此，他取了其中第一項a₁，第三項a₃和第五項a₅．
（1）若a₁，a₃，a₅成等比數列，求d的值；
（2）在a₁=1，d=3 的無窮等差數列{a_n}中，是否存在無窮子數列{b_n}，使得數列（b_n）為等比數列？若存在，請給出數列{b_n}的通項公式并證明；若不存在，說明理由；
（3）他在研究過程中猜想了一個命題：“對于首項為正整數a，公比為正整數q（q＞1）的無窮等比數列{c_n}，總可以找到一個子數列{b_n}，使得{d_n}構成等差數列”．于是，他在數列{c_n}中任取三項c_k，c_m，c_n（k＜m＜n），由c_k+c_n與2c_m的大小關系去判斷該命題是否正確．他將得到什么結論？

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•徐匯區一模）對于數列{x_n}，從中選取若干項，不改變它們在原來數列中的先后次序，得到的數列稱為是原來數列的一個子數列．某同學在學習了這一個概念之后，打算研究首項為正整數a，公比為正整數q（q＞0）的無窮等比數列{a_n}的子數列問題．為此，他任取了其中三項a_k，a_m，a_n（k＜m＜n）．
（1）若a_k，a_m，a_n（k＜m＜n）成等比數列，求k，m，n之間滿足的等量關系；
（2）他猜想：“在上述數列{a_n}中存在一個子數列{b_n}是等差數列”，為此，他研究了a_k+a_n與2a_m的大小關系，請你根據該同學的研究結果來判斷上述猜想是否正確；
（3）他又想：在首項為正整數a，公差為正整數d的無窮等差數列中是否存在成等比數列的子數列？請你就此問題寫出一個正確命題，并加以證明．

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科目：高中數學 來源：北京模擬題 題型：解答題

已知有窮數列A：a₁，a₂，…，a_n，(n≥2)，若數列A中各項都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數列為Γ數列。對于Γ數列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項a_i，a_j，將

的值添在A的最后，然后刪除a_i，a_j，這樣得到一個n-1項的新數列A₁(約定：一個數也視作數列)。若A₁還是Γ數列，可繼續實施操作過程T，得到的新數列記作A₂，…，如此經過k次操作后得到的新數列記作A_k，
（Ⅰ）設A：0，

，請寫出A₁的所有可能的結果；
（Ⅱ）求證：對于一個n項的Γ數列A操作T總可以進行n-1次；
（Ⅲ）設A：

，求A₉的可能結果，并說明理由.

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