Question

（2012•徐匯區一模）對于數列{x_n}，從中選取若干項，不改變它們在原來數列中的先后次序，得到的數列稱為是原來數列的一個子數列．某同學在學習了這一個概念之后，打算研究首項為a₁，公差為d的無窮等差數列{a_n}的子數列問題，為此，他取了其中第一項a₁，第三項a₃和第五項a₅．
（1）若a₁，a₃，a₅成等比數列，求d的值；
（2）在a₁=1，d=3 的無窮等差數列{a_n}中，是否存在無窮子數列{b_n}，使得數列（b_n）為等比數列？若存在，請給出數列{b_n}的通項公式并證明；若不存在，說明理由；
（3）他在研究過程中猜想了一個命題：“對于首項為正整數a，公比為正整數q（q＞1）的無窮等比數列{c_n}，總可以找到一個子數列{b_n}，使得{d_n}構成等差數列”．于是，他在數列{c_n}中任取三項c_k，c_m，c_n（k＜m＜n），由c_k+c_n與2c_m的大小關系去判斷該命題是否正確．他將得到什么結論？

Answer 1

分析：（1）由題意可得（a₁+2d）²=a₁（a₁+4d），解之即可；
（2）可舉b_n=4^n-1，然后結合二項式定理證明即可；
（3）命題為假命題，由不等式的性質可證c_k+c_n＞2c_m，故不成等差數列．

解答：解：（1）由題意可得a₃²=a₁a₅，…..（2分）
即（a₁+2d）²=a₁（a₁+4d），解得d=0．…..（4分）
（2）由題意可得a_n=1+3（n-1），如b_n=4^n-1便為符合條件的一個子數列．…..（7分）
下面證明：因為b_n=4^n-1=（1+3）^n-1=1+

C

1 n-1

3+

C

2 n-1

3²+…+

C

n-1 n-1

3^n-1=1+3M，…..（9分）
這里M=

C

1 n-1

+

C

2 n-1

3+…+

C

n-1 n-1

3^n-2為正整數，
所以，b_n=1+3M=1+3[（M+1）-1]是{a_n}中的第M+1項，…．（11分）
（3）該命題為假命題．…．（12分）
由已知可得ck=aqk-1，cm=aqm-1，cn=aqn-1，
因此ck+cn=aqk-1+aqn-1，又2cm=2aqm-1，
故 (ck+cn)-2cm=aqk-1+aqn-1-2aqm-1=aq^k-1（1+q^n-k-2q^m-k），…..（15分）
由于k，m，n是正整數，且n＞m，故n≥m+1，n-k≥m-k+1，
又q是滿足q＞1的正整數，則q≥2，
∴1+q^n-k-2q^m-k≥1+q^m-k+1-2q^m-k=1+qq^m-k-2q^m-k≥1+2q^m-k-2q^m-k=1＞0，
所以，c_k+c_n＞2c_m，從而原命題為假命題．…..（18分）

點評：本題考查合情推理，涉及數列的等差等比的判定，屬中檔題．