Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，0）、B（1，0），動點C滿足條件：△ABC的周長為2+2

2

．記動點C的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）經過點（0，

2

）且斜率為k的直線l與曲線W有兩個不同的交點P和Q，求k的取值范圍；
（Ⅲ）已知點M（

2

，0），N（0，1），在（Ⅱ）的條件下，是否存在常數k，使得向量

OP

+

OQ

與

MN

共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件找到|AC|+|BC|=2

2

＞2，得動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2

2

的橢圓除去與x軸的兩個交點．代入橢圓的方程即可．
（Ⅱ）直線l與曲線W有兩個不同的交點P和Q，等價于把直線方程和橢圓方程聯立后對應的方程有兩個不等根，利用其判別式大于0即可．
（Ⅲ）先把直線方程和橢圓方程聯立后找到向量

OP

+

OQ

的坐標，利用向量

OP

+

OQ

與

MN

共線求出對應的k的取值，看其是否讓（Ⅱ）成立即可．

解答：解：（Ⅰ）設C（x，y），
∵|AC|+|BC|+|AB|=2+2

2

，|AB|=2，
∴|AC|+|BC|=2

2

＞2，
∴由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2

2

的橢圓除去與x軸的兩個交點．
∴a=

2

，c=1．∴b²=a²-c²=1．
∴W：

x2

2

+y2=1（y≠0）．（2分）
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+

2

，代入橢圓方程，得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理，得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0．①（5分）
因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．
∴滿足條件的k的取值范圍為k∈(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)（7分）
（Ⅲ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由①得x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

．②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

③
因為M(

2

，0)，N（0，1），所以

MN

=(-

2

，1)．（11分）
所以

OP

+

OQ

與

MN

共線等價于x₁+x₂=-

2

(y1+y2)．
將②③代入上式，解得k=

2

2

．
所以不存在常數k，使得向量

OP

+

OQ

與

MN

共線．（13分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題．一般在研究直線與曲線有兩個不同的交點問題時，等價于把直線方程和曲線方程聯立后對應的方程有兩個不等根，利用其判別式大于0即可．