Question

給出下列四個命題：
①設x₁，x₂∈R，則x₁＞1且x₂＞1的充要條件是x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1；
②任意的銳角三角形ABC中，有sinA＞cosB成立；
③平面上n個圓最多將平面分成2n²-4n+4個部分；
④空間中直角在一個平面上的正投影可以是鈍角．
其中真命題的序號是    （要求寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

【答案】分析：由實數的性質及不等式的性質，我們易判斷①的對錯；根據誘導公式及正弦函數的單調性及銳角三角形的定義，我們可判斷②的真假；利用遞推法我們易求出平面上n個圓將平面分成的最多份數，進而得到③的正誤；利用正投影的定義，我們易判斷④的真假，進而得到答案．
解答：解：若x₁＞1且x₂＞1，則x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1成立，但x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1時，x₁＞1且x₂＞1不一定成立，故x₁＞1且x₂＞1的必要不充分條件是x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1，故①錯誤；
在銳角三角形中A+B＞，∴A＞-B，故sinA＞sin（-B）=cosB，故②正確；
平面上n個圓最多將平面分成n²-n+2部分，故③錯誤；
間中直角在一個平面上的正投影可以是銳角，也可能是直角，也可以是鈍角，故④正確；
故答案為：②④
點評：本題考查的知識點是平行投影、充要條件的判斷、正弦函數的單調性、數列的遞推公式，熟練掌握這些基本知識點是解答本題的關鍵．