Question

已知數列的前項和滿足：，

（1）寫出數列的前三項，，；

（2）求數列的通項公式；

（3）證明：對任意的整數，有

Answer 1

證明見解析

解析:

⑴由遞推公式易求：a₁=1,a₂=0,a₃=2；

⑵由已知得：（n>1）

化簡得：

,

故數列{}是以為首項, 公比為的等比數列.

故   ∴

∴數列{}的通項公式為：.

⑶觀察要證的不等式，左邊很復雜，先要設法對左邊的項進行適當的放縮，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數列的前n項公式求和，由于-1與1交錯出現，容易想到將式中兩項兩項地合并起來一起進行放縮，嘗試知：，

，因此，可將保留，再將后面的項兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對進行分類討論，（1）當為偶數時，

 

                  

                  

                  

（2）當是奇數時，為偶數，

所以對任意整數，有。