Question

已知點A（x₁，y₁）在圓（x-2）²+y²=4上運動，點A不與（0，0）重合，點B（4，y₀）在直線x=4上運動，動點M（x，y）滿足．動點M的軌跡C的方程為F（x，y）=0．
（1）試用點M的坐標x，y表示y₀，x₁，y₁；
（2）求動點M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）以下給出曲線C的五個方面的性質，請你選擇其中的三個方面進行研究，并說明理由．（若你研究的方面多于三個，我們將只對試卷解答中的前三項予以評分）
①對稱性；
②頂點坐標（定義：曲線與其對稱軸的交點稱為該曲線的頂點）；
③圖形范圍；
④漸近線；
⑤對方程F（x，y）=0，當y≥0時，函數y=f（x）的單調性．

Answer 1

解：（1）由題得：=（x，y）.=（4，y₀）.=（4-x₁，y₀-y₁）．
∵．
∴?
（2）∵點A（x₁，y₁）在圓（x-2）²+y²=4上運動，
∴（x₁-2）²+y₁²=4?=4．
即=4．
∴動點M的軌跡方程為=4．
整理得（x-4）（）=0?x=4或x³+xy²-4y²=0．
因為當x=4時，A的坐標為（0，0），與題中條件相矛盾．
∴動點M的軌跡方程是：x³+xy²-4y²=0．
（3）①關于X軸對稱，
將方程中的（x，y）換成（x，-y），方程形式不變，故關于X軸對稱；
②頂點為（0，0），
在方程中，令y=0得x=0；故曲線的頂點坐標為（0，0）；
③圖象范圍是：0≤x＜4，y∈R．
∵≥0得0≤x＜4，y∈R．
④直線x=4是曲線的漸近線，
∵0≤x＜4，，當x→4時，y→∞，
故直線x=4是曲線的漸近線．
分析：（1）先求出：=（x，y）.=（4，y₀）.=（4-x₁，y₀-y₁）．再由條件得∴即可解出示y₀，x₁，y₁；
（2）把所求的點A的坐標代入圓（x-2）²+y²=4中，整理即可求出動點M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）①先將方程中的（x，y）換成（x，-y），方程形式不變，得關于X軸對稱；
②令y=0得x=0；得曲線的頂點坐標為（0，0）；
③把軌跡方程F（x，y）=0整理锝，因為平方數大于等于0得0≤x＜4，y∈R，
④0≤x＜4，，當x→4時，y→∞，可得直線x=4是曲線的漸近線．
點評：本題主要考查向量在幾何中的應用以及軌跡方程的求法，本題的難點在于對軌跡方程的整理，屬于一道難題．