Question

在平面直角坐標系xOy中，已知以O為圓心的圓與直線l：y=mx+（3-4m），（m∈R）恒有公共點，且要求使圓O的面積最小．
（1）寫出圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內動點P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數列，求

PA

•

PB

的范圍；
（3）已知定點Q（-4，3），直線l與圓O交于M、N兩點，試判斷

QM

•

QN

×tan∠MQN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此時直線l的方程，若不存在，給出理由．

Answer 1

分析：（1）依題意可知直線過定點，要求使圓O的面積最小，則定點在圓上，求出半徑即可求圓的方程．
（2）求出A、B兩點的坐標，設P的坐標，|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數列，得到相等關系式，P在圓內，得到不等式，可求數量積的范圍．
（3）依題意表示

QM

•

QN

×tan∠MQN，得到等價關系即三角形面積，容易確定圓上的點到已知線段的最大距離．可求出直線l的方程．

解答：解：（1）因為直線l：y=mx+（3-4m）過定點T（4，3）
由題意，要使圓O的面積最小，定點T（4，3）在圓上，
所以圓O的方程為x²+y²=25．
（2）A（-5，0），B（5，0），設P（x₀，y₀），則x₀²+y₀²＜25   ①

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)，
由|

PA

|，|

PO

|，|

PB

|成等比數列得，|

PO

|2=|

PA

|•|

PB

|，
即

x

2 0

+

y

2 0

=

(x0+5)2+ y 2 0

•

(x0-5)2+ y 2 0

，整理得：

x

2 0

-

y

2 0

=

25

2

，即

x

2 0

=

25

2

+

y

2 0

②
由①②得：0≤

y

2 0

＜

25

4

，

PA

•

PB

=(

x

2 0

-25)+

y

2 0

=2

y

2 0

-

25

2

，∴

PA

•

PB

∈[-

25

2

，0)
（3）

QM

•

QN

×tan∠MQN=|

QM

|•|

QN

|cos∠MQN×tan∠MQN
=|

QM

|•|

QN

|sin∠MQN=2S△MQN．
由題意，得直線l與圓O的一個交點為M（4，3），又知定點Q（-4，3），
直線l_MQ：y=3，|MQ|=8，則當N（0，-5）時S_△MQN有最大值32．
即

QM

•

QN

×tan∠MQN有最大值為64，
此時直線l的方程為2x-y-5=0．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，向量的數量積，等比數列，直線系等知識，考查等價轉化、數形結合的數學思想．是難度較大的題目．