Question

【題目】在非負數構成的數表中，每行的數互不相同，前六列中每列的三數之和為1，均大于1．如果的前三列構成的數表滿足下面的性質：對于數表中的任意一列（）均存在某個使得．①

求證：（1）最小值（）一定去自數表的不同列；

（2）存在數表中唯一的一列（）使得數表仍然具有性質（）．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）假設最小值（）不是取自數表的不同列．則存在一列不含任何不妨設（）．由于數表中同一行中的任何兩個元素都不等，于是，（）．使得．矛盾．

（2）由抽屜原理知中至少有兩個值取在同一列．不妨設．由（1）知數表的第一列一定含有某個，則只能是．

同理，第二列中也必含某個（）．不妨設．

于是，，即是數表中的對角線上數字：．

記．令集合．顯然，且．因為，所以，．故．于是，存在．使得．顯然，．下面證明：數表具有性質（）．

從上面的選法可知（）．這說明．

又由滿足性質（），在式①中取，推得．于是，．接下來證明：對任意的，存在某個（）使得．

假若不然，則（）且．這與的最大性矛盾．因此，數表滿足性質（）．

再證唯一性．設有使得數表具有性質（）．

不失一般性，可假定②

．由于及（1），有．又由（1）知，或者，③或者④如果式③成立，則⑤由數表滿足性質（），則對于至少存在一個，使得．

又由式②、⑤知．所以，只能有．同理，由數表滿足性質（）得．于是，，即數表．如果式④成立，則⑥由數表滿足性質（），則對于，存在某個（）使得．由及式②、⑥知．于是，只能有．同理，由滿足性質（）及得．從而．