Question

對于一個函數f（x），如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在f（x）的定義域內，就有f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“保三角形函數”．則下列函數：①f（x）=x②f（x）=x²③f（x）=sinx，x∈（0，

π

4

）④f（x）=cosx，x∈（0，

π

4

）是“保三角形函數”的是

①③④

（寫出正確的序號）

Answer 1

分析：欲判斷三個函數f（x）是不是“保三角形函數”，只須任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，我們判斷f（a），f（b），f（c）是否滿足任意兩數之和大于第三個數，即任意兩邊之和大于第三邊即可．

解答：解：任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，
若f（x）=x由于f（a）+f（b）=a+b＞c=f（c），所以f（x）=x是“保三角形函數”．
對于f（x）=x²，3，3，5可作為一個三角形的三邊長，但3²+3²＜5²，
所以不存在三角形以3²，3²，5²為三邊長，故f₃（x）不是“保三角形函數”．
對于f（x）=sinx，x∈（0，

π

4

），∴

π

2

＞a+b＞c＞0，f（a）+f（b）=sina+sinb＞sinc=f（c）
所以f（x）=sinx，x∈（0，

π

4

）是“保三角形函數”．
對于f（x）=cosx，x∈（0，

π

4

），a≤c，b≤c，cosb＞cosc∴f（a）+f（b）=cosa+cosb＞cosc=f（c）
所以f（x）=cosx，x∈（0，

π

4

）是“保三角形函數”．
故答案為：①③④

點評：要想判斷f（x）為“保三角形函數”，要經過嚴密的論證說明f（x）滿足“保三角形函數”的概念，但要判斷f（x）不為“保三角形函數”，僅須要舉出一個反例即可．