Question

定義：對于一個函數f（x）（x∈D），若存在兩條距離為d的直線y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得在x∈D時，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱函數f（x）在D內有一個寬度為d的通道．下列函數：①f（x）=e^-x，②f（x）=sinx，③f(x)=

x2-1

，④f（x）=x²，其中在[1，+∞）有一個寬度為1的通道的函數的序號是

①③

．

Answer 1

分析：對于①，當x∈[1，+∞）時，確定函數的值域，0＜e-x≤

1

e

，故可知兩條直線可取y=0，y=1；對于②，當x∈[1，+∞）時，-1≤sinx≤1；對于③，當x∈[1，+∞）時，f(x)=

x2-1

，表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-

2

，滿足在[1，+∞）有一個寬度為1的通道；
對于④，當x∈[1，+∞）時，f（x）∈[1，+∞），故可得結論．

解答：解：對于①，當x∈[1，+∞）時，0＜e-x≤

1

e

，故在[1，+∞）有一個寬度為1的通道，兩條直線可取y=0，y=1；
對于②，當x∈[1，+∞）時，-1≤sinx≤1，故在[1，+∞）不存在一個寬度為1的通道；
對于③，當x∈[1，+∞）時，f(x)=

x2-1

，表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-

2

，滿足在[1，+∞）有一個寬度為1的通道；
對于④，當x∈[1，+∞）時，f（x）∈[1，+∞），故在[1，+∞）不存在一個寬度為1的通道；
故答案為：①③

點評：本題考查的重點是對新定義的理解，解題的關鍵是通過研究函數的性質，找出滿足題意的直線．