Question

已知函數f(x)＝－x²＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．
(1)若g(x)＝m有實數根，求m的取值范圍；
(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．

Answer 1

（1）m≥2e
（2）(－e²＋2e＋1，＋∞)

解：(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e等號成立的條件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因此，只需m≥2e，g(x)＝m就有實數根．

(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個相異的實根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點，作出g(x)與f(x)的大致圖象．
∵f(x)＝－x²＋2ex＋m－1＝－(x－e)²＋m－1＋e²，
∴其圖象的對稱軸為x＝e，開口向下，最大值為m－1＋e²．
故當m－1＋e²>2e，即m>－e²＋2e＋1時，g(x)與f(x)有兩個交點，
即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．
∴m的取值范圍是(－e²＋2e＋1，＋∞)．