Question

（2012•黃浦區二模）已知定點F（2，0），直線l：x=2，點P為坐標平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為點Q，且

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)．設動點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點F的直線l₁與曲線C有兩個不同的交點A、B，求證：

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

2

；
（3）記

OA

與

OB

的夾角為θ（O為坐標原點，A、B為（2）中的兩點），求cosθ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定向量的坐標，利用

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，得

FQ

•(

PF

+

PQ

)=0，由此可求曲線C的方程；
（2）設直線l₁的方程為x=my+2與拋物線方程聯立，利用韋達定理，結合

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

，即可證得結論；
（3）確定

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），利用cosθ=

OA • OB

| OA || OB |

，可求cosθ的取值范圍．

解答：（1）解：設點P的坐標為（x，y）．                                    （1分）
由題意，可得Q（-2，y），

FQ

=（-4，y），

PF

=（2-x，-y），

PQ

=（-2-x，0）．（3分）
由

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，得

FQ

•(

PF

+

PQ

)=0，即（-4，y）•（-2x，-y）=0
∴y²=8x（x≥0）．    （6分）
∴所求曲線C的方程為y²=8x（x≥0）．    
（2）證明：因為過點F的直線l₁與曲線C有兩個不同的交點A、B，所以l₁的斜率不為零，
故設直線l₁的方程為x=my+2．                                （7分）
于是A、B的坐標（x₁，y₁）、（x₂，y₂）為方程組

y2=8x x=my+2

的實數解．
消x并整理得y²-8my-16=0．　　　　                          　（8分）
于是y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴x₁+x₂=8m²+4，x₁x₂=4，（10分）
又因為曲線y²=8x（x≥0）的準線為x=-2，
所以

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

=

4+x1+x2

x1x2+2(x1+x2)+4

=

1

2

，得證． （12分）
（3）解：由（2）可知，

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）．
∴cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

x1x2+y1y2

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

=

-12

x 2 1 +8x1 • x 2 2 +8x2

=

-6

100+64m2

≥-

3

5

（當且僅當m=0時，等號成立）．　　　　　（16分）
∴cosθ的取值范圍為[-

3

5

，0）．                    （18分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查計算能力，屬于中檔題．