Question

設，其中f（x）=lnx，且g（e）=．（e為自然對數的底數）
（I）求p與q的關系；
（Ⅱ）若g（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍；
（Ⅲ）證明：
①f（1+x）≤x（x＞-1）；
②（n∈N，n≥2）．

Answer 1

【答案】分析：對于（I）求p與q的關系；因為由已知可以很容易求出函數g（x）的表達式，在把x=e代入函數得關系式，化簡即可得到答案．
對于（II）若g（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍；因為已知g（x）的函數表達式，可以直接求解導函數，當導函數恒大于等于0，或者恒小于等于0的時候，即單調．故可分類討論當p=0，p＞0，p＜0時滿足函數單調的p的值，求它們的并集即可得到答案．
對于（III）證明：①f（1+x）≤x（x＞-1），可根據函數的單調性直接證明．
②（n∈N，n≥2）．因為由①知lnx≤x-1，又x＞0，所以有，令x=n²，
得到不等式．．代入原不等式化簡求解即可得到答案．
解答：解：（I）由題意，
又g（e）=，∴，
∴，∴，
而，∴p=q
（II）由（I）知：，，
令h（x）=px²-2x+p．要使g（x）在（0，+∞）為單調函數，只需h（x）在（0，+∞）滿足：
h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①p=0時，h（x）=-2x，∵x＞0，∴h（x）＜0，∴g'（x）=，
∴g（x）在（0，+∞）單調遞減，∴p=0適合題意．
②當p＞0時，h（x）=px²-2x+p圖象為開口向上拋物線，
稱軸為x=∈（0，+∞）．∴h（x）_min=p-．只需p-≥0，即p≥1時h（x）≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）單調遞增，∴p≥1適合題意．
③當p＜0時，h（x）=px²-2x+p圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為x=∉（0，+∞），
只需h（0）≤0，即p≤0時h（0）≤（0，+∞）恒成立．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）單調遞減，∴p＜0適合題意．
綜上①②③可得，p≥1或p≤0．
（III）證明：①即證：lnx-x+1≤0（x＞0），
設k（x）=lnx-x+1，則k'（x）=．
當x∈（0，1）時，k′（x）＞0，∴k（x）為單調遞增函數；
當x∈（1，∞）時，k′（x）＜0，∴k（x）為單調遞減函數；
∴x=1為k（x）的極大值點，∴k（x）≤k（1）=0．即lnx-x+1≤0，
所以lnx≤x-1得證．
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，
∴∵n∈N^*，n≥2時，令x=n²，
得．
∴，
∴
=
=
==
所以得證．
點評：此題主要考查函數的概念及由函數單調性證明不等式的問題，題目共有三問，涵蓋知識點多，計算量大，對學生靈活性要求較高，屬于難題．