Question

給出下列命題：
①半徑為2，圓心角的弧度數為

1

2

的扇形的周長為5；    
②若向量

a

∥

b

且

b

∥

c

，則

a

∥

c

③設f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ　（k∈Z）．則f（2012）+f（2013）=0．
④若直線l過點A（2，3），且垂直于向量a=（2，1），則其方程為2x+y-7=0
其中真命題的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①由弧長公式可求得半徑為2，圓心角的弧度數為

1

2

的扇形的弧長，可判斷①的正誤；
②若

b

=

0

，可判斷②的正誤；
③利用正弦函數與余弦函數的周期性可判斷③；
④利用直線的點斜式方程可求得直線l的方程，從而可判斷④的正誤．

解答：解：①依題意，由弧長公式l=θr=2×

1

2

=1，
∴半徑為2，圓心角的弧度數為

1

2

的扇形的周長為2+2+1=5，①正確；
對于②，當

b

=

0

時，向量

a

∥

b

且

b

∥

c

，則不能⇒

a

∥

c

，故②錯誤；
③∵f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），
∴f（2012）+f（2013）
=asin（2012π+α）+bcos（2012π+β）+asin（2013π+α）+bcos（2013π+β）
=asinα+bcosβ-asinα-bcosβ=0，故③正確；
④∵直線l過點A（2，3），且垂直于向量a=（2，1），
∴直線l的斜率為-2，由點斜式得直線l的方程為：y-3=-2（x-2），整理得2x+y-7=0．故④正確．
∴真命題的序號是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查弧長公式、向量的性質、三角函數的周期性及直線的點斜式方程，屬于中檔題．