Question

雙曲線

x2

a2

-y2=1的虛軸端點與一個焦點連線的中點恰在雙曲線的一條準線上，PQ是雙曲線的一條垂直于實軸的弦，o為坐標原點，則

OP

•

OQ

等于（　　）

• A、0
• B、-1
• C、1
• D、與PQ的位置及a的值有關(guān)

Answer 1

分析：由雙曲線

x2

a2

-y2=1的虛軸端點與一個焦點連線的中點恰在雙曲線的一條準線上，能夠推導(dǎo)出a²=3．再利用雙曲線的性質(zhì)和向量的婁得積公式能夠推導(dǎo)出

OP

•

OQ

．

解答：解：取雙曲線

x2

a2

-y2=1的虛軸端點B（1，0）與焦點F（

a2+1

，0），則BP的中點坐標的橫坐標x0=

1+ a2+1

2

，
∵BP的中點在雙曲線的準線x=

a2

a2+1

上，∴

1+ a2+1

2

=

a2

a2+1

．解得a²=3．
∵PQ是雙曲線的一條垂直于實軸的弦，
∴可設(shè)P(x0，

3

3

x0)  ，Q(x0，-

3

3

x0)，則

OP

•

OQ

=x02-

1

3

x02=

2

3

x02．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的端點坐標、準線方程和向量的數(shù)量積，在解題過程中要注意合理選取公式．