Question

（2011•廣東模擬）給定函數f(x)=

x2

2(x-1)

（1）試求函數f（x）的單調減區間；
（2）已知各項均為負的數列{a_n}滿足，4Sn•f(

1

an

)=1，求證：-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

；
（3）設b_n=-

1

an

，T_n為數列 {b_n} 的前n項和，求證：T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（1）先寫出f(x)=

x2

2(x-1)

的定義域，再求其導數，由f′（x）＜0解出單調減區間即可；
（2）由已知可得2Sn=an

-a

2 n

，再由此式得到2Sn-1=an-1

-a

2 n-1

，兩式相減得結合已知條件得出a_n的通項公式，于是，待證不等式即為

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．為此，我們考慮證明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0，下面利用換元法結合導數工具進行證明．
（3）由（2）可知 bn=

1

n

  則 Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，下面只須在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3…..2010，2011并將各式相加即可．

解答：解：（1）f(x)=

x2

2(x-1)

的定義域為{x|x≠1}…（1分） （此處不寫定義域，結果正確不扣分）
f′（x）=

x2-2x

2(x-1)2

…（3分）
由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
單調減區間為（0，1）和（1，2）…（5分）（答案寫成（0，2）扣（1分）；不寫區間形式扣1分）
（2）由已知可得2Sn=an

-a

2 n

，當n≥2時，2Sn-1=an-1

-a

2 n-1

兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1
當n=1時，2a₁=a₁-a₁²得a₁=-1，若a_n=-a_n-1，則a₂=1這與題設矛盾
∴a_n-a_n-1=-1
∴a_n=-n                   …（8分）
于是，待證不等式即為

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．
為此，我們考慮證明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0
令1+

1

x

=t．則t＞1，x=

1

t-1

再令g（t）=t-1-lnt，g′（t）=1-

1

t

  
由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0
∴當t∈（1，+∞）時，g（t）單調遞增∴g（t）＞g（1）=0 于是t-1＞lnt
即 

1

x

＞ln

x+1

x

，x＞0 　　　 ①
令h（t）=lnt-1+

1

t

，h′（t）=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

   由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0
∴當t∈（1，+∞）時，h（t）單調遞增∴h（t）＞h（1）=0   于是lnt＞1-

1

t

即ln

x+1

x

＞

1

x+1

，x＞0　　 ②
由①、②可知

1

x

＞ln

x+1

x

＞

1

x+1

，x＞0      …（10分）
所以，

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，即  -

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

  …（11分）
（3）由（2）可知 bn=

1

n

  則 Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

…（12分）
在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3…..2010，2011并將各式相加得

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

2012

2011

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2011

…（13分）
即     T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁…14

點評：本題考查數列和不等式的綜合，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．