Question

【題目】已知自變量為的函數(shù).其中，為自然對數(shù)的底，.

（Ⅰ）求函數(shù)與的單調(diào)區(qū)間，并且討論函數(shù)的單調(diào)性;

（Ⅱ）已知，求證：

（ⅰ）方程有兩個根，；

（ⅱ）若（ⅰ）中的兩個根滿足，，則，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增區(qū)間為，減區(qū)間為；增區(qū)間為，見解析（Ⅱ）（ⅰ）見解析（ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）分別求得，的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進而得到最值，可得單調(diào)區(qū)間；討論為奇數(shù)和偶數(shù)，即可得到所求單調(diào)性；

（Ⅱ），（ⅰ）運用為奇數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象即可得證；

（ⅱ）為奇數(shù)時，在遞減，在遞增，且越小，函數(shù)的圖象與直線的交點越靠近軸，即可得證．

解：（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)為

，由時；由時；

可得的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

的導(dǎo)數(shù)為

，，

可得，

可得的增區(qū)間為；

經(jīng)過次導(dǎo)數(shù)可得，

由，在時，；時；

則次求導(dǎo)時，導(dǎo)函數(shù)在遞增；遞減，

即有導(dǎo)函數(shù)的最小值為0，

可得為奇數(shù)，在遞減，在遞增；

為偶數(shù)時，在遞增；

（Ⅱ）證明：，（ⅰ）由為奇數(shù)，在遞減，

在遞增；可得，有最小值0，無最大值，

則方程有兩個根，；

（ⅱ）若（ⅰ）中的兩個根滿足，，

由于為奇數(shù)時，在遞減，在遞增，

且越小，函數(shù)的圖象與直線的交點越靠近軸，

則，．