Question

已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切．過點P(－4，0)作斜率為的直線l，使得l和G交于A，B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，又滿足|PA|·|PB|＝|PC|2．

(1)求雙曲線G的漸近線的方程；

(2)求雙曲線G的方程；

(3)橢圓S的中心在原點，它的短軸是G的實軸．如果S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分AB，若P(x，y)(y＞0)為橢圓上一點，求當△ABP的面積最大時點P的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設雙曲線G的漸近線的方程為y＝kx， 　　則由漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切可得＝， 　　所以k＝±，即雙曲線G的漸近線的方程為y＝±x． 　　(2)由(1)可設雙曲線G的方程為x2－4y2＝m， 　　把直線的方程y＝(x＋4)代入雙曲線方程， 　　整理得3x2－8x－16－4m＝0， 　　則xA＋xB＝，xAxB＝－．(*) 　　∵|PA|·|PB|＝|PC|2，P、A、B、C共線且P在線段AB上， 　　∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16， 　　整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0．將(*)代入上式得m＝28， 　　∴雙曲線的方程為－＝1． (3)由題可設橢圓S的方程為＋＝1(a＞2)， 設垂直于的平行弦的兩端點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為P(x0，y0)， 　　則＋＝1，＋＝1， 　　兩式作差得＝0． 　　由于＝－4，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以－＝0， 　　所以，垂直于的平行弦中點的軌跡為直線－＝0截在橢圓S內的部分． 　　又由已知，這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分，所以＝，即a2＝56， 　　故橢圓S的方程為＋＝1． 　　由題意知滿足條件的P點必為平行于AB且與橢圓相切的直線m在橢圓上的切點， 　　易得切線m的方程為，解得切點坐標， 　　則P點的坐標為