Question

已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切．過點P（-4，0）作斜率為

1

4

的直線l，使得l和G交于A，B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，又滿足|PA|•|PB|=|PC|²．
（1）求雙曲線G的漸近線的方程；
（2）求雙曲線G的方程；
（3）橢圓S的中心在原點，它的短軸是G的實軸、如果S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分AB，若P（x，y）（y＞0）為橢圓上一點，求當△ABP的面積最大時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線G的漸近線的方程為y=kx，則由漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切可得

|5k|

k2+1

=

5

，由此能求出雙曲線G的漸近線的方程．
（2）設雙曲線G的方程為x²-4y²=m，把直線l的方程y=

1

4

（x+4）代入雙曲線方程，得3x²-8x-16-4m=0，則x_A+x_B=

8

3

，x_Ax_B=-

16+4m

3

．由|PA|•|PB|=|PC|²，P、A、B、C共線且P在線段AB上，知4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．由此能求出雙曲線的方程．
（3）設橢圓S的方程為

y2

28

+

y2

a2

=1（a＞2

7

），設垂直于l的平行弦的兩端點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為P（x₀，y₀），則

x12

28

+

y12

a2

=1，

x22

28

+

y22

a2

=1，兩式作差得

(x1-x2)(x1+x2)

28

+

(y1-y2)(y1+y2)

a2

=0．由此入手能夠求出P點的坐標．

解答：解：（1）設雙曲線G的漸近線的方程為y=kx，
則由漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切可得

|5k|

k2+1

=

5

，
所以k=±

1

2

，即雙曲線G的漸近線的方程為y=±

1

2

x．  （3分）
（2）由（1）可設雙曲線G的方程為x²-4y²=m，
把直線l的方程y=

1

4

（x+4）代入雙曲線方程，
整理得3x²-8x-16-4m=0，
則x_A+x_B=

8

3

，x_Ax_B=-

16+4m

3

．（*）
∵|PA|•|PB|=|PC|²，P、A、B、C共線且P在線段AB上，
∴（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，即（x_B+4）（-4-x_A）=16，
整理得4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．將（*）代入上式得m=28，
∴雙曲線的方程為

x2

28

-

y2

7

=1．               （7分）
（3）由題可設橢圓S的方程為

y2

28

+

y2

a2

=1（a＞2

7

），
設垂直于l的平行弦的兩端點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為P（x₀，y₀），
則

x12

28

+

y12

a2

=1，

x22

28

+

y22

a2

=1，
兩式作差得

(x1-x2)(x1+x2)

28

+

(y1-y2)(y1+y2)

a2

=0，
由于

y1-y2

x1-x2

=-4，x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，所以

x0

28

-

4y0

a2

=0，
所以，垂直于l的平行弦中點的軌跡為直線

x

28

-

4y

a2

=0截在橢圓S內的部分．
又由已知，這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分，所以

a2

112

=

1

2

，即a²=56，
故橢圓S的方程為

x2

28

+

y2

56

=1（12分）
由題意知滿足條件的P點必為平行于AB且與橢圓相切的直線m在橢圓上的切點，
易得切線m的方程為y=

1

2

x+3

7

，解得切點坐標x=

2 7

3

，y=

10 7

3

，
則P點的坐標為（

2 7

3

，

10 7

3

）．（14分）

點評：本題考查雙曲線漸近線方程的求法，考查雙曲線方程的求法，查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．