Question

【題目】設首項為1的正項數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＋1－3Sn＝1.

(1) 求證：數列{an}為等比數列；

(2) 數列{an}是否存在一項ak，使得ak恰好可以表示為該數列中連續r(r∈N*，r≥2)項的和？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 見解析. (2) 見解析.

【解析】試題分析：(1)由 可得 ，兩式相減化簡可得數列{an}為等比數列；(2)假設數列 中存在一項恰好可以表示為該數列中連續項的和，利用等比數列求和化簡后，導出矛盾即可得結論.

試題解析：(1)∵ Sn＋1－3Sn＝1，∴ n≥2時Sn－3Sn－1＝1，兩式相減得an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2)．

又a1＝1，S2－3S1＝1，∴ a2＝3，∴ n＝1時an＋1＝3an也成立．

∴ n∈N*時＝3，數列{an}為等比數列．

(2) 解：由(1)知an＝3n－1，若數列{an}中存在一項ak，使得ak＝am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1(m∈N*)．(2)

∵ an＝3n－1，∴ {an}為遞增數列．

∴ ak＞am＋r－1，即3k－1＞3m＋r－2，k＞m＋r－1，k≥m＋r.

又am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1＝＜≤＜3k－1＝ak與ak＝am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1相矛盾．

∴ 數列{an}不存在一項ak，使得ak恰好可以表示為該數列中連續r(r∈N*，r≥2)項的和．