Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點．
（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅱ）求點B到平面OCD的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求異面直線所成的角，可以做適當的平移，把異面直線轉化為相交直線，然后在相關的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移時主要是根據中位線和中點條件，或者是特殊的四邊形，三角形等．∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）．
（Ⅱ）在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉化為求點到平面的距離．本題可以先“轉化”：當由點向平面引垂線發生困難時，可利用線面平行或面面平行轉化為直線上（平面上）其他點到平面的距離．∵AB∥平面OCD，所以點B和點A到平面OCD的距離相等．
連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q．∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離．

解答：解（Ⅰ）∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）．
作AP⊥CD于點P，連接MP．
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP．
∵∠ADP=

π

4

，∴DP=

2

2

．
∵MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴cos∠MDP=

DP

MD

=

1

2

，∠MDC=∠MDP=

π

3

．
所以，異面直線AB與MD所成的角為

π

3

．
（Ⅱ）∵AB∥平面OCD，所以點B和點A到平面OCD的距離相等．
連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q．
∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離．
∵OP=

OD2-DP2

=

OA2+AD2-DP2

=

3 2

2

，AP=PD=

2

2

，
∴AQ=

OA•AP

OP

=

2× 2 2

3 2 2

=

2

3

．
所以，點B到平面OCD的距離為

2

3

．

點評：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、異面直線所成角及點到平面的距離等知識，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力．