Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=

π

3

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點．
（1）求三棱錐B-OCD的體積；
（2）求異面直線AB與MD所成角的余弦值；
注：若直線a⊥平面α，則直線a與平面α內的所有直線都垂直．

Answer 1

分析：（1）利用三棱錐的換底性V_B-OCD=V_O-BCD，OA為棱錐的高，再求出底面面積，代入公式計算；
（2）作AP⊥CD于點P，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系，求出

AB

與

MD

，然后利用向量的夾角公式求出所求即可；

解答：解：（1）∵底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=

π

3

，
∴底面ABCD的面積S=1×1×sin60°=

3

2

；
∵OA⊥底面ABCD，OA=2，
∴棱錐的高為2，
∴V_B-OCD=V_O-BCD=

1

3

×

1

2

×S×OA=

3

6

．
（2）作AP⊥CD于點P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，

2

2

，0），
∵底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=

π

3

，
∴∠CAP=

π

6

，AP=

3

2

，PD=

1

2

，
∴D（

1

2

，

3

2

，0），M（0，0，1），
∴

AB

=（1，0，0），

MD

=（

1

2

，

3

2

，-1），
∴cos＜

AB

，

MD

＞=

AB • MD

| AB || MD |

=

1 2

1× 1+1

=

2

4

．

點評：本題考查了棱錐的體積計算，考查了用向量法求異面直線所成角的余弦值，解答本題的關鍵是利用平面幾何知識求得D的坐標．