Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為6．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若已知D（0，3），點(diǎn)M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，且

DM

=λ

DN

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用動(dòng)點(diǎn)P與雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為6，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，且a=3，c=

5

，從而可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)N（s，t），M（x，y），利用

DM

=λ

DN

，求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)M，N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C上，消去一個(gè)參數(shù)，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（

5

，0），F(xiàn)₂（-

5

，0）．
∵動(dòng)點(diǎn)P與雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為6，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，且a=3，c=

5

，
∴b=

a2-c2

=

5

，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）設(shè)N（s，t），M（x，y），則
∵

DM

=λ

DN

，
∴（x，y-3）=λ（s，t-3），
∴x=λs，y=3+λ（t-3），
∵M(jìn)，N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C上，
∴

s2

9

+

t2

4

=1，

(λs)2

9

+

(λt+3-3t)2

4

=1，
消去s可得

(λt+3-3λ)2-λ2t2

4

=1-λ2，
解得t=

13λ-5

6λ

．
∵|t|≤2，
∴|

13λ-5

6λ

|≤2，
解得

1

5

≤λ≤5．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[

1

5

，5]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查解不等式，屬于中檔題．