Question

已知圓x²+y²+8x-4y=0與以原點為圓心的某圓關于直線y=kx+b對稱，
（1）求k、b的值；
（2）若這時兩圓的交點為A、B，求∠AOB的度數．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，2個圓的圓心關于直線y=kx+b對稱，利用垂直以及線段的中點在軸上，解方程組求得k、b的值．
（2）公共弦所在的直線2x-y+5=0，利用點到直線的距離公式求出弦心距d，由cos

∠AOB

2

=

d

r

 求得

∠AOB

2

的值，
即可得到∠AOB的度數．

解答：解：（1）圓x²+y²+8x-4y=0即 （x+4）²+（y-2）²=20，表示以M（-4，2）為圓心，半徑等于2

5

的圓．
由于另一個圓的圓心是原點O，OM的中點為N（-2，1），OM的斜率K=

2

-4

=-

1

2

．
再由2個圓的圓心關于直線y=kx+b對稱，可得

k (- 1 2 )=-1 1=-2k+b

，解得 

k=2 b=5

．
（2）由上可知，直線y=kx+b即y=2x+5，即2x-y+5=0，且此直線是公共弦所在的直線．
弦心距為d=

|0-0+5|

5

=

5

，故cos

∠AOB

2

=

d

r

=

1

2

，
∴

∠AOB

2

=60°
故∠AOB=120°．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，兩點關于某直線對稱的性質，屬于中檔題．