Question

【題目】某房地產(chǎn)開發(fā)商有一塊如圖（1）所示的四邊形空地ABCD，經(jīng)測(cè)量，邊界CB與CD的長(zhǎng)都為2km，所形成的角∠．

（I）如果邊界AD與AB所形成的角，現(xiàn)欲將該地塊用固定高度的板材圍成一個(gè)封閉的施工場(chǎng)地，求至多購買多少千米長(zhǎng)度的板材；

（II）當(dāng)邊界AD與CD垂直，AB與BC垂直時(shí)，為后期開發(fā)方便，擬在這塊空地上先建兩條內(nèi)部道路AE，EF，如圖（2）所示，點(diǎn)E在邊界CD上，且道路EF與邊界BC互相垂直，垂足為F，為節(jié)約成本，欲將道路AE，EF分別建成水泥路、砂石路，每1km的建設(shè)費(fèi)用分別為、a元（a為常數(shù)）；若設(shè)，試用表示道路AE，EF建設(shè)的總費(fèi)用（單位：元），并求出總費(fèi)用的最小值．

Answer 1

【答案】（I） （II）；最小值為元.

【解析】

（I）由題意結(jié)合余弦定理得，利用基本不等式即可得解；

（II）由正弦定理得，則，由題意可得，，令，，求導(dǎo)得到最小值即可得解.

（I）連結(jié)BD，易知為等邊三角形，則，

在中，，，

由余弦定理得：

即

由基本不等式得：

則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立）．

則.

答：所用板材長(zhǎng)度的最大值為．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>AD與CD垂直，AB與BC垂直，

則ABCD四點(diǎn)共圓，且AC為直徑，記直徑為2R．

在ABCD中，，，

則，，

由正弦定理得：，

在和中，則，

在中，，，

則，，

又，則，

在中，，則，

則，

所以總費(fèi)用．

記，，

則，

令，得，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí).

答．鋪設(shè)的總費(fèi)用的最小值為元．