Question

圓c：x²+（y-1）²=1和圓c₁：（x-2）²+（y-1）²=1，現構造一系列的圓c₂，c₃，…，c_n，…，使圓c_n+1同時與圓c_n和圓c相切，并且都與x軸相切．
①寫出圓c_n-1的半徑r_n-1與圓c_n的半徑r_n之間關系式，并求出圓c_n的半徑；
②（理科做）設兩個相鄰圓c_n和c_n+1的外公切線長為l_n，求．
（文科做）求l₁+l₂+…+l_n．

Answer 1

解：（1）由題意，c₁（2，1），r₁=1，設c_n（x_n，r_n），c_n-1（x_n-1，r_n-1），則有，，即∴，從而有；
（2）（理科）由（1）知，，∴，
∴，∴．
（文科）由（1）知，，∴，
∴，
分析：（1）圓c_n+1同時與圓c_n和圓c相切，并且都與x軸相切，故可得出兩個方程，化簡可得圓c_n-1的半徑r_n-1與圓c_n的半徑r_n之間關系式，從而求出圓c_n的半徑；
（2）由（1）知圓心坐標，再求外公切線長，利用裂項法可求和．
點評：本題主要考查圓與圓相切，應充分利用兩圓外切的條件，進行等價變形，對于求和利用裂項法．