Question

在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足S_n²=a_n(Sn-

1

2

)．
（1）求S_n的表達式；
（2）設b_n=

2n

Sn

，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2），化簡已知等式得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，從而數列{

1

Sn

}構成公差為2的等差數列，結合等差數列的通項公式加以計算，即可得到S_n的表達式；
（2）由（1）的結論，得到bn=(2n-1)•2n，因此利用錯位相減法并結合等比數列的求和公式，化簡整理后可得

Tn=(2n-3)•2n+1+6

．

解答：解　（1）∵S_n²=a_n(Sn-

1

2

)，a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）(Sn-

1

2

)，
即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，…①
由題意S_n-1•S_n≠0，
將①式兩邊同除以S_n-1•S_n，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴數列{

1

Sn

}是首項為

1

S1

=

1

a1

=1，公差為2的等差數列．
可得

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，得S_n=

1

2n-1

；
（2）由（1）得

1

Sn

=2n-1，
∴bn=

2n

Sn

=(2n-1)•2n
因此，

Tn=1×2+3×22+5×23+…(2n-1)2n

兩邊都乘以2，得

2Tn= 1×22+3×23+…(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

兩式相減，得

-Tn=2+2(22+23+…+2n)-

（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+6-2•2ⁿ⁺¹
化簡得

Tn=(2n-3)•2n+1+6

．

點評：本題給出數列的前n項和與第n項之間的關系式，求數列的前n項和表達式，并依此求另一個數列的前n項和．著重考查了等差等比數列的通項公式、求和公式，考查了利用錯位相減法求等差、等比數列對應項的積構成數列的前n項和的知識，屬于中檔題．