Question

【題目】如圖，三棱臺(tái)DEF ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面ABED∥平面FGH；

(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明平面ABED∥平面GHF；連接HE，利用三角形中位線定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可證明EFCH是平行四邊形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可證明平面BCD⊥平面EGH．

解析：

（1）在三棱臺(tái)DEFABC中，BC＝2EF，H為BC的中點(diǎn)，BH∥EF，BH＝EF，

四邊形BHFE為平行四邊形，有BE∥HF.

BE∥平面FGH

在△ABC中，G為AC的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，GH∥AB.

AB∥平面FGH

又AB∩BE＝B，所以平面ABED∥平面FGH.

(2)連接HE,EG

G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)，GH∥AB. AB⊥BC，GH⊥BC.

又H為BC的中點(diǎn)，EF∥HC，EF＝HC，四邊形EFCH是平行四邊形，有CF∥HE.

CF⊥BC，HE⊥BC.

HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H，BC⊥平面EGH.

BC平面BCD，平面BCD⊥平面EGH.