Question

【題目】已知圓心在直線y=4x上，且與直線l：x+y﹣2=0相切于點P（1，1）
（Ⅰ）求圓的方程
（II）直線kx﹣y+3=0與該圓相交于A、B兩點，若點M在圓上，且有向量 （O為坐標原點），求實數k．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣4a）2=r2

因為直線相切，圓心到直線的距離d= ，

且圓心與切點連線與直線l垂直

則： 可得a=0，r= ，

所以圓的方程為：x2+y2=2．

（II）直線與圓聯立： ，

得：（1+k2）x2+6kx+7=0，

△=8k2﹣28＞0，解得．k 或k ，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則： ， ，

，

將M代入圓方程：（x +x2）2+（y1+y2）2=2，

，

求得k=

【解析】（Ⅰ）根據直線與圓相切的位置關系d= r 以及直線垂直斜率之積等于-1可求出a=0，r= ，進而得到圓的方程。
（II）由題意該直線與圓相交于A、B兩點聯立直線與圓的方程可得△＞0求出k的取值范圍；再根據韋達定理得出與的表達式，代入圓的方程正理即得k的值，根據k的取值范圍兩個值全要。