Question

在△ABC中，根據下列條件解三角形，則其中有兩解的是（　　）

A．b=10∠A=45°∠C=70°

B．a=20 c=48∠B=60°

C．a=7 b=5∠A=98°

D．a=14 b=16∠A=45°

Answer 1

分析：A、由A和C的度數，利用三角形的內角和定理求出B的度數，從而得到sinA，sinB及sinC的值，再由b的值，利用正弦定理求出a與c的值，本選項只有一解；
B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理求出b的值，再利用余弦定理表示出cosC，發現其值小于0，即C為鈍角，c為最大邊，故本選項只有一解；
C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由A為鈍角，即為三角形的最大角，得到B只有一解，從而求出c也只有一解；
D、由a，b及sinA，利用正弦定理求出sinB的值，再由B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B有兩解，本選項有兩解．

解答：解：A、由∠A=45°，∠C=70°，
得到∠B=65°，又b=10，
根據正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：
a=

10sin45°

sin65°

，c=

10sin70°

sin65°

，本選項只有一解；
B、由a=20，c=48，∠B=60°，
根據余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB=400+2304-960=1744，
∴b²=1744，
則cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，得到C為鈍角，故c為最大邊，
本選項只有一解；
C、由a=7，b=5，∠A=98°，
根據正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得，sinB=

5sin98°

7

，
由∠A=98°為鈍角，即最大角，得到B只能為銳角，
故本選項只有一解；
D、由a=14，b=16，∠A=45°，
根據正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：
sinB=

16× 2 2

14

=

4 2

7

，
由0＜B＜135°，則B有兩解，B=arcsin

4 2

7

或π-

4 2

7

，
本選項有兩解，
故選D

點評：此題屬于解直角三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函數值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．同時注意角度的范圍．