Question

已知函數f（x）的定義域為[-3，+∞），部分函數值如表所示，其導函數的圖象如圖所示，若正數a，b滿足f（2a+b）＜1，則

b+2

a+2

的取值范圍是

（

2

5

，4）

；

x	-3	0	6
f（x）	1	-1	1

Answer 1

分析：由導數圖象可知當-3＜x＜0時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減，當x＞0時，f'（x）＞0，函數單調遞增．利用函數的單調性進行求解．

解答：解：由表格可得f（-3）=f（6）=1．
由導數圖象可知當-3＜x＜0時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
當x＞0時，f'（x）＞0，函數單調遞增．
若正數a，b滿足f（2a+b）＜1，則f（2a+b）＜f（6），
即

a＞0，b＞0 2a+b＜6

，作出不等式組對應的平面區域如圖：

b+2

a+2

的幾何意義表示為動點P（a，b）到定點C（-2，-2）點的斜率的取值范圍．
由題意知A（0，6），B（3，0），
所以AC的斜率為

-2-6

-2

=4，BC的斜率為

-2-0

-2-3

=

2

5

，
所以則k=

b+2

a+2

的取值范圍是

2

5

＜k＜4．
故答案為：（

2

5

，4）

點評：本題主要考查了導數的應用，直線的斜率以及簡單的線性規劃問題，涉及的知識點較多，綜合性較強．