Question

設函數f(x)=log

1

2

x，給出下列四個命題：
①函數f（|x|）為偶函數；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，則ab=1；
③函數f（-x²+2x）在（1，+∞）上為單調增函數；
④若0＜a＜1，則|f（1+a）|＜|f（1-a）|；
則正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：由題設條件函數f(x)=log

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x，根據對數的函數的性質對四個命題進行判斷，得出正誤
①函數f（|x|）為偶函數，由偶函數的定義進行判斷正誤；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，則ab=1，由對數的性質進行推斷即可判斷此命題的正誤；
③函數f（-x²+2x）在（1，+∞）上為單調增函數，由復合函數的單調性易判斷；
④若0＜a＜1，則|f（1+a）|＜|f（1-a）|，對兩個數作差比較出它們的大小，得出正誤；

解答：解：∵f(x)=log

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x
∴①函數f（|x|）為偶函數，此命題正確，因為f(-x)=log

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|-x|=log

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|x|=f(x)此函數是一個偶函數，命題是正確命題；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，則ab=1，此命題是正確命題，因為|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，故有f（a）+f（b）=0，即log

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a+log

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b=0，故有ab=1；
③函數f（-x²+2x）的定義域是（0，2），故復合函數f（-x²+2x）在（1，+∞）上為單調增函數錯；
④若0＜a＜1，則|f（1+a）|＜|f（1-a）|，此命題，因為由題意f（1+a）＜0，f（1-a）＞0，若有|f（1+a）|＜|f（1-a）|成立，則f（1+a）+f（1-a）＞0，即f（1-a²）＞0，即1-a²∈（0，1）顯然成立；
綜上①②④都是正確命題
故答案為①②④

點評：本題考查對數函數的圖象與性質的綜合，解題的關鍵是熟練掌握對數的運算性質及函數奇偶性與單調性的性質，以及復合函數的單調性的判斷方法，解答本題時命題②④的判斷是一個難點，需要轉化后再用對數的運算性質變形，方能判斷出命題的真假．解題的時要注意依據題意合理轉化