Question

已知不等式

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

[log2n]，其中n為大于2的整數，[log₂n]表示不超過log₂n的最大整數．設數列{a_n}的各項為正，且滿足a₁=b（b＞0），a_n≤

nan-1

n+an-1

，n=2，3，4，…．證明：a_n＜

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…．

Answer 1

分析：欲證明：a_n＜

2b

2+b[log2n]

，設f（n）=

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，首先利用數學歸納法證不等式a_n＜

b

1+f(n)b

，再結合條件即可解決．

解答：證明：設f（n）=

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，首先利用數學歸納法證不等式a_n＜

b

1+f(n)b

，n=3，4，5．
（ⅰ）當n=3時，由a₃≤

3a2

3+a2

=

3

3 a2 +1

≤

3

3• 2+a1 2a1 +1

=

b

1+f(3)b

，知不等式成立．
（ⅱ）假設當n=k（k≥3）時，不等式成立，即a_k＜

b

1+f(n)b

，則a_k+1≤

(k+1)ak

(k+1)+ak

=

k+1

k+1 ak +1

＜

k+1

(k+1)• 1+f(k)b b +1

=

(k+1)b

(k+1)+(k+1)f(k)b+b

=

b

1+(f(k)+ 1 k+1 )b

=

b

1+f(k+1)b

即當n=k+1時，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）知，a_n＜

b

1+f(n)b

，n=3，4，5，…
又由已知不等式得a_n＜

b

1+ 1 2 [log2n]b

=

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…

點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式．設P（n）是關于自然數n的命題，若：（1）P（n₀）成立（奠基）；（2）假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立