Question

9、函數f（x）在定義域R上不是常數函數，且f（x）滿足條件：對任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），
則f（x）是（　　）

A、奇函數但非偶函數

B、偶函數但非奇函數

C、既是奇函數又是偶函數

D、是非奇非偶函數

Answer 1

分析：根據對任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），知f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f（1-x）=f（-x），故f（x）為偶函數，反之易得函數f（x）不可能為奇函數，即可得答案．

解答：解：∵對任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x）
∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f（1-x）=f（-x）
∴f（x）=f（-x）
故f（x）為偶函數
又∵既是奇函數又是偶函數只有常數函數，函數f（x）在定義域R上不是常數函數
∴函數f（x）不可能為奇函數
故選B

點評：本題考查了函數奇偶性的判斷，還有變量整體代入法，屬于基礎題．