Question

已知平面上一定點C（4，0）和一定直線為該平面上一動點，作，垂足為Q，且.
（1）問點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；
（2）設直線與（1）中的曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過點D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）P點在雙曲線上，其方程為
（2）滿足題意的k值存在，且k值為

（1）設P的坐標為，由得
（2分）∴（（4分）
化簡得  ∴P點在雙曲線上，其方程為（6分）
（2）設A、B點的坐標分別為、，
由 得（7分）
，（8分）
∵AB與雙曲線交于兩點，∴△>0，即
解得（9分）
∵若以AB為直徑的圓過D（0，－2），則AD⊥BD，∴，
即，（10分）
∴
∴
解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.