Question

已知y=f（x）的圖象是由y=sinx圖象經過如下變化而得：①y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，②將①中圖象縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

2

，③將②中圖象橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍
（1）求y=f（x）的最小正周期和對稱軸
（2）△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C對邊，且f(C)=2，c=1，ab=

3

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得f（x）的解析式，再根據函數y=Asin（ωx+φ）的周期性和對稱性求得f（x）的最小正周期和對稱軸．
（2）由f（C）=2sin（2C+

π

6

）=2求得C的值，再由條件利用余弦定理求得a、b的值．

解答：解：（1）把y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，可得函數y=sin（x+

π

6

）的圖象，
再把所得圖象縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

2

，可得函數y=sin（2x+

π

6

）的圖象，
再把圖象橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍，可得函數y=2sin（2x+

π

6

）的圖象，
故y=f（x）=2sin（2x+

π

6

），它的最小正周期為

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

kπ

2

+

π

6

，故對稱軸方程為 得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈z．
（2）由f（C）=2sin（2C+

π

6

）=2，可得 2sin（2C+

π

6

）=2，結合0＜C＜π 可得C=

π

6

．
再根據c=1，ab=

3

，a＞b ①，利用余弦定理可得 c²=1=a²+b²-2ab•cos

π

6

，即 a²+b²=4 ②．
并根據①、②解得a=

3

，b=1．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，函數y=Asin（ωx+φ）的周期性 和對稱性，余弦定理的應用，屬于中檔題．