Question

已知f（A，B）=sin²2A+cos²2B-

3

sin2A-cos2B+2．
（1）設△ABC的三內角為A、B、C，求f（A，B）取得最小值時，C的值；
（2）當A+B=

π

2

且A、B∈R時，y=f（A，B）的圖象按向量

p

平移后得到函數y=2cos2A的圖象，求滿足上述條件的一個向量p．

Answer 1

分析：（1）先對f（A，B）進行配方，然后可確定當sin2A-

3

2

=0、cos2B-

1

2

=0時f（A，B）取最小值，進而根據正弦函數的性質可得到A、B、C的值．
（2）因為A+B=

π

2

可得到2B=π-2A，然后將f（A，B）中的B用A替換得到關于A的函數，再由三角函數按向量平移的原則可得到向量

p

的坐標．

解答：解：（1）f（A，B）=（sin2A-

3

2

）²+（cos2B-

1

2

）²+1，
由題意

sin2A= 3 2 cos2B= 1 2

得

A= π 6 或A= π 3 B= π 6 .

∴C=

2π

3

或C=

π

2

．
（2）∵A+B=

π

2

，∴2B=π-2A，cos2B=-cos2A．
∴f（A，B）=cos2A-

3

sin2A+3=2cos（2A+

π

3

）+3=2cos2（A+

π

6

）+3．
從而向量

p

=（

π

6

，-3）（只要寫出一個符合條件的向量p即可）．

點評：本題主要考查三角函數的基本性質和誘導公式的應用．三角函數部分公式比較多，要強化記憶．