Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2ω+2cos²ωx-1（ω＞0）的最小正周期為2π．
（1）當x∈R時，求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知f（A）=1，a=2

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，sinB=2sinC，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式后兩項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)最小正周期求出ω的值，確定出解析式，即可求出函數(shù)的值域；
（2）由f（A）=1，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，利用正弦定理化簡已知的等式得到b=2c，再利用余弦定理列出關系式，將各自的值代入求出c的值，進而求出b的值，即可確定出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin2ω+2cos²ωx-1=f（x）=

3

sin2ω+2cos2ωx=2sin（2x+

π

6

），
∵

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

，
∴f（x）=2sin（x+

π

6

），
∴f（x）∈[-2，2]；
（2）由f（A）=1，得sin（A+

π

6

）=

1

2

，∴A+

π

6

=

5π

6

，得A=

2π

3

，
∵sinB=2sinC，∴b=2c，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，得c=2，
∴b=2c=4，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

．

點評：此題考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面積公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．