Question

某種商品在30天內的銷售價格P（元）與時間t天的函數關系用圖甲表示，該商品在30天內日銷售量Q（件）與時間t天之間的關系如圖所示：

（1）根據所提供的圖象（圖甲）寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系式；
（2）在所給的直角坐標系（圖乙）中，根據表中所提供的數據描出實數對（t，Q）的對應點，并確定一個日銷售量Q與時間t的一次函數關系式．
（3）求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天？（日銷售金額=每件的銷售價格×日銷售量）

t（天）	5	15	20	30
Q（件）	35	25	20	10

Answer 1

分析：（1）根據圖象可知，每件商品的銷售價格P與時間t的函數關系式滿足一次函數，根據圖象中所提供的點進行求解；
（2）利用待定系數法：設設Q=kt+b，由兩點列方程組，解出即可求得；
（3）由日銷售金額=每件的銷售價格×日銷售量，且由表格中所提供的數據可知Q=t-40，從而結合（1）可得y=

-t2+20t+800，0＜t＜25 t2-140t+4000，25≤t≤30

，利用二次函數的性質進行求解最大值．

解答：解：（1）當0＜t＜25時，設P=kt+b，則

b=20 25k+b=45

，解得

b=20 k=1

，∴P=t+20；
當25≤t≤30時，設P=mt+n，則

25m+n=75 30m+n=70

，解得

m=-1 n=100

，∴P=-t+100．
綜上所述：p=

t+20，0＜t＜25 -t+100，25≤t≤30

．
（2）如圖所示：

設Q=kt+b，則

5k+b=35 15k+b=25

，解得

k=-1 b=40

，
所以日銷售量Q與時間t的一次函數關系式為：Q=-t+40．
（3）設銷售額為S元，
當0＜t＜25時，S=P•Q=（t+20）•（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900，
∴當t=10時，S_max=900，
當25≤t≤30時，S=P•Q=（100-t）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
∴當t=25時，S_max=1125＞900，
綜上所述，第25天時，銷售額最大為1125元．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及求分段函數的最值問題，同時考查了根據圖象求函數解析式，屬于中檔題．