Question

在中學(xué)階段，對(duì)許多特定集合（如實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集以及平面向量集等）的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算（如四則運(yùn)算）和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容．現(xiàn)設(shè)集合A由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在A上定義一個(gè)運(yùn)算，記為⊙，對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素α=（a，b），β=（c，d），規(guī)定：α⊙β=(

.

a -c b d

.

，

.

d a c b

.

)．
（1）計(jì)算：（2，3）⊙（-1，4）；
（2）請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述運(yùn)算⊙滿足交換律和結(jié)合律，并任選其一證明；
（3）A中是否存在唯一確定的元素I滿足：對(duì)于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，請(qǐng)求出元素I；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）試延續(xù)對(duì)集合A的研究，請(qǐng)?jiān)贏上拓展性地提出一個(gè)真命題，并說明命題為真的理由．

Answer 1

分析：（1）利用題中的定義，利用行列式公式求出值
（2）利用定義寫出交換律，結(jié)合律，并用題中的定義證明．
（3）先假設(shè)存在，利用定義寫出方程，解得求出即存在，若求不出，則不存在．
（4）類比實(shí)數(shù)中的一些運(yùn)算律寫出，并用題中的定義證明．

解答：解：（1）（2，3）⊙（-1，4）=（5，14）
（2）設(shè)A中的任意三個(gè)元素α=（a，b），β=（c，d），γ=（e，f）
交換律：α⊙β=（ad+bc，bd-ac）=β⊙α結(jié)合律：（α⊙β）⊙γ=（adf+bcf+bde-ace，bdf-acf-ade-bce）=α⊙（β⊙γ）
（3）假設(shè)存在I=（x，y），α=（a，b），則I⊙α=α，
即（x，y）⊙（a，b）=（a，b）?(

.

x -a y b

.

，

.

b x a y

.

)=（a，b），
①若α=（0，0），顯然有I⊙α=α成立；
②若α≠（0，0），則
所以

bx+ay=a -ax+by=b.

解得x=0，y=1．
所以，存在I=（0，1）滿足：對(duì)于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立．
（4）①舉例計(jì)算，如計(jì)算（1，-1）⊙（0，-1）等不給分．
②計(jì)算α⊙α=（2ab，b²-a²）、α⊙（-α）=（-2ab，a²-b²）、（a，b）⊙（1，0）=（b，-a）、（a，b）⊙（0，0）=（0，0）等．
③定義“加法”⊕：（a，b）?（c，d）=（a+c，b+d），
并解釋合理性（驗(yàn)證α⊕α=（0，2）⊙α）．
④證明消去律成立：（a，b）⊙（c，d）=（a，b）⊙（e，f）?（c，d）=（e，f）．
⑤方程α⊙x=e當(dāng)α≠（0，0）時(shí)有解，并求出解x=(

-a

a2+b2

，

b

a2+b2

)．
⑥方程α⊙x=β當(dāng)α≠（0，0）時(shí)有解，并求出解x=(

ad-bc

a2+b2

，

-ac-bd

a2+b2

)．
⑦定義“逆運(yùn)算※”，對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素α=（a，b）≠（0，0），β=（c，d），
規(guī)定：β※α=(

ad-bc

a2+b2

，

-ac-bd

a2+b2

)解釋合理性（如6）

點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理、利用題中所給的定義解題是高考中場(chǎng)出現(xiàn)的題型，要重視．