Question

已知f(x)=lg(a^x-b^x)(常數a＞1＞b＞0).

(1)求y=f(x)的定義域.

(2)在函數y=f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸?

(3)當a,b滿足什么條件時，f(x)在區間(1,+∞)上恒大于0？?

Answer 1

解析（1）由a^x-b^x＞0，得?

()^x＞1.?

∵＞1,?

∴由指數函數的性質得x＞0.?

（2）先證明f(x)是增函數,任取x₁＞x₂＞0,a＞1＞b＞0.?

由指數函數的性質得 ＞, ＜.?

∴-＞-＞0.?

∴lg(-)＞lg(-),?

即f(x₁)＞f(x₂).∴f(x)是增函數.?

假設函數y=f(x)的圖象上存在不同的兩點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，使直線AB平行于x軸，則x₁≠x₂,y₁=y₂,這與f(x)是增函數相矛盾.?

故y=f(x)的圖象上不存在兩點，使過這兩點的直線平行于x軸.?

（3）∵f(x)是遞增函數，?

∴當x∈(1,+∞)時，有f(x)＞f(1).??

從而只需f(1)=lg(a-b)≥0,即當a≥b+1時，??

f(x)在（1，+∞）上恒取正值.